Значение под знаком логарифма

Основные свойства логарифмов

значение под знаком логарифма

может принимать любое действительное значение, тогда на Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые. Логарифмы можно складывать, вычитать и преобразовывать. Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9. и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма, когда число под знаком логарифма.

К началу страницы Формулировки и доказательства свойств Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов.

значение под знаком логарифма

Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождестваа также свойств степени. Начнем со свойства логарифма единицы.

значение под знаком логарифма

Доказательство не вызывает сложностей: Приведем примеры применения рассмотренного свойства: Переходим к следующему свойству: Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: Докажем свойство логарифма произведения. Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции. Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e.

значение под знаком логарифма

Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: Переходим к свойству логарифма степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени.

Логарифм (понятие).

Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: Сначала докажем это свойство для положительных b. Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного.

значение под знаком логарифма

Если основания разные, эти правила не работают! Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются см.

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения

Взгляните на примеры — и убедитесь: Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Основания одинаковые, используем формулу разности: Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Но после преобразований получаются вполне нормальные числа.

На этом факте построены многие контрольные работы.

значение под знаком логарифма

Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе иногда — практически без изменений предлагаются на ЕГЭ. Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень?

Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам: Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: Именно это чаще всего и требуется.

Определение и свойства логарифмов.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: Переход к новому основанию Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные?

Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа? На помощь приходят формулы перехода к новому основанию.

Переход к другому основанию логарифма.